科睿唯安與中國科學院聯合發布了《2025研究前沿》報告，聚焦自然科學和社會科學領域的最新研究動態。報告從11大學科領域中遴選出110個熱點前沿和18個新興前沿，全面展示了全球科研創新的趨勢與方向。其中，數學領域的研究進展尤為引人注目，多個交叉學科方向展現出顛覆性潛力。
數學領域排名前十的研究前沿集中體現了機器學習與科學計算的深度融合。以“物理引導神經網絡在偏微分方程求解中的方法與應用”為例，該方向通過將物理定律嵌入神經網絡訓練過程，突破了傳統數值方法在高維系統求解中的局限。研究團隊開發出基于物理約束的深度學習模型，能夠自動滿足偏微分方程描述的物理規律，為復雜系統建模提供了全新工具。另一項前沿“基于深度去噪先驗的迭代優化計算成像”則結合了數據科學與微分方程理論，在圖像重建領域實現了計算效率與精度的雙重提升。
人工智能理論基礎研究同樣占據重要地位。“現代機器學習中的雙降曲線與泛化現象研究”針對深度學習模型的過參數化特性展開探索。傳統統計理論認為，模型復雜度與泛化能力呈U型關系，但深度神經網絡卻表現出“雙降”風險曲線——當參數數量超過訓練樣本時，測試誤差不僅未上升，反而進入第二個下降區間。這一發現挑戰了經典認知，為理解大模型的成功機制提供了數學框架。相關研究已吸引全球頂尖機構參與，核心論文產出呈現多極化格局，美國、中國、歐洲的研究團隊在該領域形成激烈競爭。
優化理論與統計方法創新持續涌現。“無導數/零階優化的方法與理論”為黑箱函數優化提供了新思路，特別適用于無法獲取梯度信息的復雜系統。“稀疏回歸/最優子集選擇的精確與可擴展優化方法”則通過數學推導與算法設計，解決了高維數據下的模型選擇難題。在統計領域，“高維統計中魯棒統計推斷”針對數據噪聲與異常值問題，構建了更具抗干擾能力的推斷框架；“非局部模型與分數階偏微分方程的理論與計算”則拓展了傳統建模方法的適用范圍，為非線性現象研究提供數學支撐。
物理引導神經網絡的研究正從理論探索轉向工程應用。研究人員通過改進網絡架構設計，使其能夠自動滿足能量守恒、動量守恒等物理不變量，顯著提升了預測結果的物理合理性。在多模態數據融合方面，該技術已成功應用于材料科學、流體力學等領域，通過結合實驗觀測與物理約束，實現了對隱式物理規律的逆向挖掘。工程界正積極推動其向實時預測場景延伸，例如在航空航天領域構建數字孿生系統，實現結構健康監測的動態仿真。
